「定数倍高速化」を編集中

'''定数倍高速化'''とは、[[アルゴリズム]]の改善による[[高速化]]とは違い、計算処理の方法を改善することにより[[計算量]]の[[オーダー]]を変えずに処理を高速化することである。

==概要==
[[競技プログラミング]]においてはほとんどの場合意味がないが、たまに定数倍高速化で無理矢理通せる場合、[[想定解]]の[[アルゴリズム]]だけど自分の[[実装]]が悪いので定数倍高速化しないと通らない場合など、定数倍高速化が役に立つ場面がある。

==例==
===なるべく除算をしない===
<source lang="c">
unsigned long long repeat_add(
		unsigned long long a,unsigned long long b,unsigned long long c) {
	unsigned long long result=0;
	while(b>0) {
		if(b&1)result=(result+a)%c;
		a=(a<<1)%c;
		b>>=1;
	}
	return result;
}
</source>
このコードは、a,bがULLONG_MAX/2以下、cがULLONG_MAX/2+1以下のとき、
(a*b) mod cを[[オーバーフロー]]しないように気をつけながら求める[[プログラム]]である。

しかし、よく考えると、最初に与えられるaがc未満のとき、常にresult+a<2*c,(a<<1)<2*cが成り立つことがわかる。
よって、次のように書くことができ、重い[[除算]]が比較的軽い減算になるため高速化できる。
<source lang="c">
/* suppose that a<c */
unsigned long long repeat_add(
		unsigned long long a,unsigned long long b,unsigned long long c) {
	unsigned long long result=0;
	while(b>0) {
		if(b&1) {
			result+=a;
			if(result>=c)result-=c;
		}
		a+=a;
		if(a>=c)a-=c;
		b>>=1;
	}
	return result;
}
</source>

===なるべく再帰を使わない===
[[再帰]]を使った[[プログラム]]は、再帰を使わない処理に比べて、
[[関数]]の呼び出しによる[[スタック]]の確保・復帰処理が入るため低速になることが多い。

===コンパイラに最適化してもらう===
<source lang="c">
#include <stdio.h>
#include <string.h>

#define MOD_BY 100000007ULL

typedef unsigned long long ull;

void matrix_mul(ull in1[50][50],ull in2[50][50],ull out[50][50],int n) {
	ull result[50][50];
	int i,j,k;
	for(i=0;i<n;i++) {
		for(j=0;j<n;j++) {
			result[i][j]=0;
			for(k=0;k<n;k++) {
				result[i][j]+=(in1[i][k]*in2[k][j])%MOD_BY;
			}
			result[i][j]%=MOD_BY;
		}
	}
	memcpy(out,result,sizeof(result));
}

void matvec_mul(ull mat[50][50],ull vec[50],ull out[50],int n) {
	ull result[50];
	int i,j;
	for(i=0;i<n;i++) {
		result[i]=0;
		for(j=0;j<n;j++) {
			result[i]+=(mat[i][j]*vec[j])%MOD_BY;
		}
		result[i]%=MOD_BY;
	}
	memcpy(out,result,sizeof(result));
}

void make_matrix(ull mat[50][50],int n) {
	int i,j;
	for(i=0;i<n;i++) {
		for(j=0;j<n;j++)mat[i][j]=0;
		mat[0][i]=1;
		if(i>0)mat[i][i-1]=1;
	}
}

void matrix_kaizyo(ull out[50][50],int n,ull kai) {
	ull matrix[50][50];
	int i,j;
	for(i=0;i<n;i++) {
		for(j=0;j<n;j++)out[i][j]=0;
		out[i][i]=1;
	}
	make_matrix(matrix,n);
	for(i=0;i<64 && kai;i++,kai>>=1) {
		if(kai & 1)matrix_mul(matrix,out,out,n);
		matrix_mul(matrix,matrix,matrix,n);
	}
}

int main(void) {
	int k;
	ull n;
	ull ans_matrix[50][50];
	ull init_vector[50]={1};
	ull ans_vector[50];
	while(1) {
		scanf("%d%I64u",&k,&n);
		if(k==0 && n==0ULL)break;
		matrix_kaizyo(ans_matrix,k,n-1);
		matvec_mul(ans_matrix,init_vector,ans_vector,k);
		printf("%I64u\n",ans_vector[0]);
	}
	return 0;
}
</source>
この[[ソースコード]]は、直前のk項の数の[[和]]を次の項の値とする[[数列]](ただし第1項は1、第n(n≦0)項は0とみなす)の第n項の値を[[100000007]]で割った余りを求める[[プログラム]]である。

この[[コード]]を[[gcc]]4.7.2で[[コンパイル]]した場合、-O2の[[最適化]]をかけた[[バイナリ]]は、
同じ入力に対し、最適化オプションをつけずに[[コンパイル]]した[[バイナリ]]の約43%の実行時間で答えを出すことができた。

===OpenMPを使う===
[[OpenMP]]を使うと、数行のおまじないとコンパイルオプションの追加により、
実行中の[[CPU]]使用率を上げる代わりに実行時間を短くすることができる。

詳しくは、[[OpenMP]]のページを見ていただきたい。

[[category: アルゴリズム]]