階乗

数学において、自然数 nの階乗(factorial) 、n! とは、1 からn まで、すべての整数を掛け算したものである。例えば、

5!=5*4*3*2*1=120

さて、これで、正の整数に関しては階乗が定義できるが、例えば、

7!=7*6!

であろう。そして一般に、nが自然数であるならば、

(n+1)!=(n+1)*n! 、

だから、例えば、

1!=1*0!

という式が予想できる。

ここから、

0!=1

と定義することが出来る。

ではさらに、

0!=0*(-1)!

と置くことが出来るが、

残念ながらこの式を満たす(-1)! は存在しない。したがって、負の整数には階乗を定義できない。

しかし一般的に階乗関数を、実数、複素数に拡張することは出来る。ただしその場合でも負の整数には定義できない。

さて、オイラーのガンマ関数と呼ばれる関数、

\Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\prod \limits _{k=0}^{n}(z+k)}}

これはz が非正の整数以外の全ての複素数で値を持つが、

n!=\Gamma (n+1)

こういう関係が作れる。

ガンマ関数は、ｚの実部が正であるときは、

\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt

とも書ける。

さてこうして作った階乗の実数拡張のグラフが以下である。

0!=1!=1,(−1/2)!=√π　,(1/2)!= √π/2

さらに階乗の複素数拡張のグラフが以下。

(x+I*y)! = ρ* (Cos[φ]+I*Sin[φ])でしょう。

しかも、ρ=E^(n/5) 、ですね。