四則演算

実数、または複素数に関する、+、-、×、÷、の４種類の演算の事をいう。

或る集合に関する２項の演算は、単位元を持つとき、必ずそれは一つであり、片側で単位元になるなら、もう片側の演算でも単位元で、即ち単位元そのものである。

足し算の単位元は、0 であり、掛け算の単位元は、1。引き算と割り算は単位元を持たない。

単位元を持つ特定の集合に関する二項演算で、結合法則を満たすものをモノイドという。

そしてモノイドの特定の元に逆元がある場合は、それは唯一つであり、片側演算で逆元なら、もう片方の演算でも逆元になり、つまり、それは逆元そのものである。

逆元とは、その元と演算して単位元になるもので、例えば加算において、17 の逆元は、-17 。乗算において100 の逆元は、1/100=0.01。

その集合の全ての元に逆元があるモノイドを、群という。さらに、その群の演算が交換法則を満たせば、可換群となる。

足し算は可換群だが、掛け算は、0 に関して逆元を持たないので、群ではなく、モノイドに過ぎない。可換モノイドだね。

引き算は、特定の数に、特定の数の逆元を足したものだし、割り算は、特定の数に、特定の数の逆元をかけたものだ。

つまり、5-7=5+(-7)=-2。2 ÷10=2 ×(1/10)=1/5=0.2 。